Por que todo número elevado a zero é igual a um?

Inicialmente esclareço que a finalidade desta postagem é responder por que todo número, diferente de zero, elevado a zero é igual a um?. A importante restrição diferente de zero não foi mencionada no título para não estendê-lo demais.

Resposta rápida (e correta!): todo número, diferente de zero, elevado a zero é igual a um por definição.

Resposta legal: o que faremos a seguir é justificar o motivo de definir tal potência como sendo igual a um.

Relembremos que quando estamos falando de potências a expressão aⁿ quer representar um produto de n fatores iguais a a. Deste modo temos o seguinte exemplo:

5³ quer representar um produto de 3 fatores iguais a 5:

5³ = 5.5.5

Como de costume: o a é chamado de base e o n é chamado de expoente. Portanto, na potência 2⁶ a base é o número dois e o expoente é o número seis.

Relembremos agora a seguinte regrinha (certamente bem conhecida de todo usuário e matemática):

a^m . aⁿ = a^m+n

Vejamos a regra acima sendo colocada em prática:

3² . 3³ = 3²⁺³

De fato:

3² . 3³ = 3.3 . 3.3.3 = 3⁵ = 3²⁺³

Um argumento bastante simples para esta regra é o seguinte: em ambos os lados da igualdade temos um produto de m+n fatores iguais a a (convença-se disto!!).

Observação importante: a definição de potência, inicialmente, faz sentido apenas para quando o expoente é um número natural não nulo, ou seja, o zero não entra na definição de expoente, afinal não faz nenhum sentido falarmos em produto de zero fatores. Assim, na regrinha acima, m e n são números naturais diferentes de zero.

O ponto crucial é o seguinte: para definir quanto vale a expressão a⁰ os matemáticos desejam que a regra  acima de repete a base soma os expoentes continue válida.

Esta é exatamente a ideia que se deve seguir para escolher uma definição adequada. Ideia esta que, inclusive, não ocorre apenas neste caso: estender o conceito de modo que os resultados obtidos anteriormente continuem válidos.

No nosso caso o “conceito” é o de potência (que, como já dissemos, a princípio faz sentido apenas para números naturais não nulos), o “resultado anterior” é a regrinha dos expoentes apresentada acima. E estamos querendo estender o conceito para englobar o expoente zero. 

Vejamos o que acontece quando consideramos esta possibilidade:

Temos o seguinte resultado, já validado:

a^m . aⁿ = a^m+n

Queremos que o zero possa ser considerado um expoente, ou seja, queremos atribuir significado para a expressão a⁰. Mas queremos que a regra dos expoentes continue funcionando quando o expoente for zero, ou seja, queremos que seja válida a igualdade seguinte:

a⁰ . aⁿ = a⁰⁺ⁿ

Felizmente sabemos quanto vale a soma 0+n e portanto podemos escrever:

a⁰ . aⁿ = aⁿ

Agora reflita: qual é o valor que deve ser atribuído ao termo a⁰ de modo que a igualdade acima fique válida? 

Observe que quando multiplicamos aⁿ por a⁰ não acontece nada! 

Ou seja, o número aⁿ permanece o mesmo. Logo a unica escolha possível é:

a⁰ = 1

Espero então que tenha ficado claro que: defini-se a⁰ igual a um, pois é conveniente que assim seja, visto que fazendo isso se estende o conceito para englobar mais casos sem perder a validade da regra já conhecida.

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