Isso é consequência de como as operações de adição e multiplicação são definidas no chamado corpo dos números reais. O "0" é elemento neutro para a adição, isto é, para todo real x, temos:
x + 0 = 0 + x = x.
Temos, também, que todo número x tem um recíproco -x tal que:
x + (-x) = x - x = 0.
Além disto, no corpo dos reais existe a propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição, isto é, a(b + c) = ab + ac. Assim, para todo real x temos que:
x.0 = x(y-y) = xy - xy = 0.
E, de forma análoga, 0x = 0.
Por que um número vezes "zero" é zero?
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