Alguns Fatos da Tangente de x

Neste post veremos algumas propriedade curiosas da tanx. Não farei referência a função trigonométrica f(x) = tanx, devido ao fato que este assunto é muito bem explorado em vários livros. Talvez em um futuro post descrevo as funções trigonométricas.

Por volta de 1580, o matemático François Viéte descobriu um bonito teorema que desapareceu dos livros textos atuais: A Lei da Tangente que veremos a seguir.

Proposição 1: (Lei das Tangentes) Em triângulo ABC agudo, temos:

$[;\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan(A + B)/2}{\tan(A - B)/2} \quad \quad (1);]$

Demonstração: Para demostrar a identidade (1), aplicamos a lei dos senos no triângulo ABC, isto é,

$[;\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B} \quad \Rightarrow \quad \frac{a+b}{b} = \frac{\sin A + \sin B}{\sin B};]$ $[;\text{e} \quad \frac{a - b}{b} = \frac{\sin A - \sin B}{\sin B};]$

Usando as identidades

$\sin \alpha \pm \sin \beta = 2\sin\bigl(\frac{\alpha \pm \beta}{2}\bigr)\cdot cos\bigl(\frac{\alpha \mp \beta}{2}\bigr)$

temos

$[;\frac{a + b}{a - b} = \frac{\sin A +\sin B}{\sin A - \sin B} = \frac{2\sin[(A+B)/2]\cos[(A - B)/2]}{2\sin[(A - B)/2]\cos[(A + B)/2]};]$

Aplicando a definição de tangente em um triângulo retângulo, segue o resultado.

Proposição 2: Se A,B e C são os ângulos internos de um triângulo ABC então:

$[;\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\cdot \tan B \cdot \tan C \quad \quad (2);]$

Demonstração: Sendo A + B + C = 180°, então

$[;\tan C = \tan(180^{\circ} - A - B) = \frac{\sin(180^{\circ} - A - B)}{\cos(180^{\circ} - A - B)} = - \frac{\sin(A+B)}{\cos(A+B)};]$

$[;\tan C = -\tan(A+B);]$

Assim,

$[;\tan C = - \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \quad \Rightarrow;]$

$[;\tan C (1 - \tan A\cdot \tan B) = -\tan A - \tan B;]$

Logo,

$[;\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\cdot \tan B \cdot \tan C;]$

Corolário 1: Em um triângulo acutângulo ABC, o produto das tangentes dos $[;3;]$ ângulos nunca é menor que $[;3\sqrt{3};]$ , ou seja,

$[;\tan A\cdot \tan B \cdot \tan C \geq 3\sqrt{3} \quad \quad (2);]$

Demonstração: Sendo o triângulo acutângulo, a tangente dos ângulos internos são positivas, de modo que podemos usar de desigualdade aritmética-geométrica , isto é,

$[;\frac{\tan A + \tan B + \tan C}{3} \geq \sqrt[3]{\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C};]$

Pela Proposição 1, $[;\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\cdot \tan B \cdot \tan C;]$ . Assim,

$[;\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C \geq 3\sqrt[3]{\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C};]$

Elevando ao cubo e simplificando segue a desigualdade (2).

Para encerrar este post, vejamos a aplicação da tangente no cálculo da largura de um rio.

Uma pessoa com um teodolito ou um aparelho que pode ser confeccionado com um transferador mede os ângulos agudos A e B de uma margem de um rio, tomando como referência um ponto C do outro lado da margem do rio. Sabendo que a distância entre os pontos (que pode ser medida contando o número de passos) é l, determine a largura h do rio naquele trecho.

Resolução: No triângulo retângulo ADC, $[;\tan A = h/x;]$ , da onde segue que: