Permutações Simples e Elementos Repetidos

Permutação de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permutação, pois elementos repetidos permutam entre si. Para compreender como isso acontece veja o exemplo abaixo:

A permutação da palavra MATEMÁTICA ficaria da seguinte forma (sem levar em consideração as letras repetidas) a permutação ficaria assim:

P₁₀ = 10! = 3.628.800

Agora, como a palavra MATEMÁTICA possui elementos que repetem, como a letra A que repete 3 vezes, a letra T repete 2 vezes e a letra M repete 2 vezes, assim a permutação da palavra MATEMÁTICA será:



Seguindo esse raciocínio podemos concluir que dada a permutação de um conjunto com n elementos, alguns elementos repetem n₁ vezes, n₂ vezes e n_n vezes. Então, a permutação é calculada:



Exemplo:
Quantos anagramas podem ser formados com a palavra ITALIANA, aplicando a permutação teremos:



Portanto, com a palavra ITALIANA podemos formar 3360 anagramas.


Permutação Simples

Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão P = n!.
n! = n.(n-1).(n-2).(n-3) .... .3.2.1

Exemplo1
De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais?
Resolução:
Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos elementos.

P = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
Portanto, o número de posições possíveis é 120.

Exemplo2
De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres:
a) em qualquer ordem
Resolução
Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos
12! = 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 479.001.600 possibilidades

b) iniciando com homem e terminando com mulher
Ao iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos:
Seis homens aleatoriamente na primeira posição.
Seis mulheres aleatoriamente na última posição.

P = (6.6) . 10! = 36.10! = 130.636.800 possibilidades

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